Dasar Sistem : Aljabar Boole & Logika Kombinasi

Bagian I
1.Teorema Aljabar Boole
2.Universalitas Gerbang NOR dan NAND

Bagian II
1.Pengertian Logika Kombinasi
2.Bentuk Persamaan Logika
3.Penyederhanaan Secara Aljabar
4.Metode Peta Karnaugh
5.Bentuk NAND dan NOR Rangkaian Logika
6.Rangkaian Enable dan Inhibit

Bagian I

1. Teorema Aljabar Boole

• Teorema Variabel Tunggal

Teorema pada operasi OR dapat diperoleh melalui teorema pada operasi AND, atau sebaliknya. Caranya:

a. Ubah tanda tambah (+) menjadi dot (.), atau sebaliknya

b. Ubah angka 1 menjadi 0, atau sebaliknya

• Teorema Variabel Jamak

2. Universalitas Gerbang NOR dan NAND

Bagian II

1.Pengertian Logika Kombinasi
Rangkaian logika yang outputnya hanya tergantung pada kombinasi input-inputnya.
Tidak tergantung pada keadaan output sebelumnya.

2.Bentuk Persamaan Logika

1. Sum of Product (SOP)
Contoh:
Y = A’B’C + AB’C’+ABC’+ABC

2. Product of Sum (POS)
Contoh:
Z = (A’+B’+C)(A+B+C)(A+B’+C)(A’+B+C)

Bentuk SOP Standar :

• SOP Standar adalah persamaan logika SOP yang setiap sukunya mengandung semua variabel input yang ada
• Pada SOP Standar, tiap sukunya dinamakan minterm (m)
• Contoh: X= A’B’C+AB’C’+ABC’+ABD
• Untuk semua kombinasi input yang ada, hanya terdapat satu kombinasi saja yang menyebabkan suatu minterm bernilai 1
• Untuk suatu input yang memberikan nilai 1 pada salah satu minterm yang ada, fungsi SOP standar selalu bernilai 1
• Cara penulisan 2:
• A’B’C → 1, AB’C’ → 4, ABC’ → 6, ABD → 7
• X(A,B,C) = Σm(1,4,6,7)
• Bentuk POS Standar (pelajari [Muchlas, pp 114])

3.Penyederhanaan Secara Aljabar

1. Sederhanakan Y = AB’D + AB’D’
Y = AB’D + AB’D’
= AB’(D+D’)
= AB’

2. Sederhanakan X = (A’+B)(A+B)
X = (A’+B)(A+B)
= A’A+A’B+BA+BB
= 0 + A’B + BA + B
= A’B + AB + B
= B(A+A’+1)
= B

3. Sederhanakan Z = ACD + A’BCD
Z = ACD + A’BCD
= CD(A+A’B)
= CD(A+B)
=ACD+BCD

4. Sederhanakan Y = ((A’+C)(B+D’))’
Y = ((A’+C)(B+D’))’
= (A’+C)’+(B+D’)’
= (A.C’)+(B’.D)
= AC’ + B’D

5. Sederhanakan Z = ABC + AB’(A’C’)’
Z = ABC + AB’(A’C’)’
= ABC + AB’(A+C)
= ABC + AB’A + AB’C
= ABC + AB’ + AB’C
= AB’ + (AB’C + ABC)
= AB’ + AC(B’+B)
= AB’ + AC
= A(B’+C)

6. Sederhanakan Z = ABC + ABC’ + AB’C
Z = ABC + ABC’ + AB’C
= AB(C+C’) + AB’C
= AB + AB’C
= A(B+B’C)
= A(B+C)
= AB +AC

4.Metode Peta Karnaugh

1. Memperoleh bentuk minimum dari persamaan yang diketahui
a. Memastikan persamaan berbentuk standar
b. Menyusun petak sebanyak 2n
c. Memasukkan minterm ke dalam petak, simbol 1
d. Memberi tanda lup pada setiap minterm yang terisolasi. Minterm yang dapat digabung jika jumlahnya 2k dengan k=1,2,3,… dan saling berdekatan.
e. Memberi tanda lup pada minterm yang hanya dapat bergabung dengan 1 minterm lainnya
f. Memberi tanda lup pada gabungan 4 minterm
g. Memberi tanda lup pada gabungan 8 minterm
h. Membuang variabel-variabel yang berbeda dan menggunakan variabel-variabel yang sama sebagai suku persamaan dari gabungan minterm yang diperoleh
i. Membentuk persamaan minimum dengan cara melakukan operasi OR terhadap suku-suku persamaan yang diperoleh dari gabungan minterm
Beberapa minterm dapat digabung jika jumlahnya 2^k

1. Gabungan 2 minterm (Muchlas, pp 135)
2. Gabungan 4 minterm (Muchlas, pp 136)
3. Gabungan 8 minterm (Muchlas, pp 137)

2. Memperoleh Bentuk Minimum dari Tabel Kebenaran

3. Kondisi diabaikan (Don’t care condition)

5.Bentuk NAND dan NOR Rangkaian Logika

• Bentuk SOP ke dalam bentuk NAND :

1.Pastikan bahwa persamaan dalam bentuk SOP
2.Lakukan operasi komplemen ganda
3.Berlakukan teorema de morgan

• Bentuk POS ke dalam bentuk NOR :

1.Pastikan bahwa persamaan dalam bentuk POS
2.Lakukan operasi komplemen ganda

3.Berlakukan teorema de morgan

6.Rangkaian Enable dan Inhibit

Latihan 1
Sederhanakan ekspresi fungsi-fungsi Boole berikut ini dalam sum of product (SOP):
a.F(A,B,C) = Σ(0,2,4,5,6)
b.F(w,x,y,z) = Σ(2,3,12,13,14,15)

Hint:
-Susun tabel kebenaran
-Buat peta karnaugh

Jawab : 

Latihan 2

Sederhanakan fungsi Boole sehingga jumlah literalnya minimum:
a. xyz + x’y + xyz’

b. zx + zx’y
Gunakan teorema aljabar Boole, atau
Coba manfaatkan peta karnaugh.

Jawab :

Latihan 3

Diberikan fungsi Boole: F=xy + x’y’+y’z. Implementasikan fungsi tersebut:
a. Dengan gerbang-gerbang AND, OR, dan NOT
b. Hanya dengan gerbang OR dan NOT